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segunda-feira, 5 de dezembro de 2011

ANÁLISE COMBINATÓRIA (Arranjo Simples e Combinação Simples)



FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA MATA SUL - FAMASUL
ANÁLISE COMBINATÓRIA
(Arranjo Simples e Combinação Simples)
EQUIPE:
Luís Fernando Andrade
Rafaela Nascimento
José Ferreira
Período: V
                                                             Professora da Disciplina de Prática Pedagógica
                                                      V, Andréia Soraya como nota da I Unidade do
                                                     Curso de Licenciatura Plena em Matemática.
Palmares
2011
A matemática é o alfabeto com o qual DEUS escreveu o Universo. (Pitágoras)
SUMÁRIO
Projeto de Intervenção Pedagógica...........................................................................................01
Objetivo Geral, Objetivo Especifico.........................................................................................02
Justificativa........................................................................................................................02 e 03
Metodologia..................................................................................................03,04,05,06,07 e 08
Recursos Didáticos....................................................................................................................08
Referências Teóricas.................................................................................................................09
Produto Final.............................................................................................................................10
Referências bibliográficas.........................................................................................................11
PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA
                                   O presente trabalho se refere a um Projeto de Intervenção Pedagógica o qual será aplicado a alunos de turmas do 3º ano do ensino médio por um período de duas semanas, o qual terá como tema de Eixo Temático: A Análise Combinatória, Arranjos Simples e a Combinação.
01
OBJETIVO GERAL
                        Compreender que a Análise Combinatória está inserida no nosso meio como um Ramo da matemática que tem por objetivo resolver problemas que consistem, basicamente em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Possuí aplicação direta no cálculo das probabilidades, sendo instrumento de vital importância para as ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia e a estatística entre outras.
            A análise combinatória se ocupa, como nos tempos de sua origem, com a resolução de problemas vinculados a jogos de azar, mas isso deixou de ser sua preocupação exclusiva. Hoje em dia, ela atua em diversos outros domínios e fornece fundamentação para a contagem de possibilidades de eventos do cotidiano.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Resolver Problemas de Contagem utilizando noções de Arranjos,
- Combinações e Permutações Simples.
- Distinguir Arranjos Simples e Combinações
- Diferenciar Elementos por Ordem e Natureza
- Desenvolver o Raciocínio Lógico
- Utilizar Formulas para Facilitar a Resolução de Problemas de Contagem
JUSTIFICATIVA
                        No cotidiano a matemática é uma ciência temida por alunos por mexer com o raciocínio lógico, força o aluno a ser criativo em buscar a solução para o problema matemático que lhe for apresentado, no caso da Análise Combinatória que engloba a Permutação, o Arranjo e a Combinação; as quais são empregadas em nosso cotidiano na seqüencia de placas de veículos, em empresas para a sua produção e etc.
                        Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, em que se é possível determinar através, por exemplo, de um diagrama de árvore, a quantidade de maneiras em que dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer, como com situações em que é necessário se utilizar de métodos especiais de contagem.
                        Um exemplo simples consiste em determinar quantos anagramas podem ser formados com o uso das quatro letras da palavra BLOG. Mesmo que você ainda não conheça a teoria da Análise Combinatória, é perfeitamente possível chegar ao resultado através da listagem exaustiva das possibilidades ou do uso de um diagrama, uma das formas de se demonstrar que existem 6 possibilidades de anagramas iniciados com a letra B (BLOG, BLGO, BOLG, BOGL, BGOL e BGLO).
O uso do mesmo raciocínio para as demais letras (L, O e G) nos permite concluir que o número de possibilidades é igual a 24 (4 x 6).
                        Arranjos são agrupamentos que a ordem dos seus elementos faz a diferença, por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1,2 e 3} são:  312, 321, 132, 123, 213, 231
METODOLOGIA
                        É observado que os alunos vêem a Análise Combinatória como um bicho papão pois exige mais raciocínio lógico do que as demais questões relacionadas a matemática.
                        Muitos alunos elegem tal parte da matemática como sendo a que menos gostam e uma das mais difíceis de serem entendidas. Acreditamos que isso aconteça devido à abordagem desvinculada da realidade com que os conceitos da análise combinatória são apresentados aos alunos. Sabemos que a matemática é uma ciência que exige abstrações, ou
seja, ela conduz a uma exploração e conservação de conceitos na estrutura cognitiva sem a
necessidade de uma representação concreta. Contudo, podem-se adequar ao máximo os conceitos matemáticos que serão ensinados à realidade do estudante.
            Nesta linha, a educação matemática propõe um ensino baseado na construção, desenvolvimento e aplicação de idéias e conceitos matemáticos, sempre compreendendo e atribuindo significado ao que o aluno está fazendo, evitando a simples memorização e mecanização. O sucesso deste ensino é atingido a partir de situações-problema contextualizadas e, posteriormente, aplicando os conceitos em situações cotidianas ou em outras áreas do conhecimento. O que a educação matemática quer é aproximar o aluno dos conceitos matemáticos,  trazer a matemática para próximo do aluno significa mostrar que ela é aplicável na sua vida, que aquilo que ele aprende na escola tem relação com seu dia-a-dia.
1ª Etapa: No primeiro momento vamos recordar o princípio básico de contagem só que ao invés de uma definição, vamos iniciar com exemplos.
Ex. 01: Deseja-se fazer uma viajem para a cidade A ou cidade B. Existem 05 caminhos possíveis para a cidade A e 03 possíveis caminhos para a cidade B. Logo para esta viagem, existem 5 + 3 = 8 caminhos possíveis.
- Depois do primeiro exemplo vamos colocar uma atividade no mesmo nível de dificuldade do 1º exemplo para ser resolvido em grupo.
2ª Etapa: Na segunda aula vamos trabalhar o conteúdo que está na seqüência, “arranjo simples”.
Arranjo Simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos componentes ou elementos.
Exemplo: Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser formados usando-se os algarismos (elementos) 2,3,4,5?
OBS: Vamos levar a resposta do exemplo em uma cartolina em forma de “árvore de possibilidades”.
Formula de Arranjo Simples

Anp= ___n!___
               (n-p)!

Dada a formula, propor exercícios:
1º Calcular:
a), A6,2 lê-se arranjo simples de 6 elementos tomados dois a dois.
3ª Etapa: Combinação Simples. Depois de esclarecer os arranjos simples, iniciaremos o conteúdo Combinação Simples.
Combinação Simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
Ex. Quantas comissões de 02 pessoas podem ser formadas com 5 alunos (A,B,C,D e E), de uma classe?
1º Aluno                                2º Aluno                                 nº de comissões

5 possibilidades                     4 possibilidades                                 10

Pois
5 x 4= 20÷ 5= 10

           Podem ser formadas 10 comissões de 2 pessoas. No exemplo dado note que os grupos AB e BA representam a mesma comissão. Os alunos A e B, não importa a ordem, formam uma comissão. Isso significa que uma mesma comissão foi contada duas vezes. Portanto, o total de comissões é 10.

Formula das Combinações Simples



Cn,p= _____n!____
                   p!(n-p)!


Exemplo: resolva a equação Cx,2= 15

Cx,2= ____x!___  = 15
                 2!(x-2)!

X (x-1) (x-2) = 15
   2!(x-2)!

X(x-1) = 15
  2.1

x(x-1) – 30=0
x²-x-30=0
Δ= b²-4ac
Δ= (-1)²-4.1.(-30)
Δ= 1+120
Δ= 121
X= √121
          2.1

‘X= 1 + 11
              2

‘X= 6

Obs: No exemplo anterior foi colocado um nível de dificuldade maior que o assunto exige, pois além do conteúdo que se está trabalhando precisou de outro conteúdo a equação do 2º grau para solucionar o problema.

4ª Etapa: Fazer uma revisão dos conteúdos vistos. Exercícios propostos, colocar umas questões mais simples de combinação.
Exercício

c)      Calcule:

c)      C5,3

Cn,p= _____n!____
                   p!(n-p)!

C5,3= _____5!____  = 5,4,3! = 20 = 10
                   3!(5-3)!       3! (2!)    2


b) C7,5

c)C 6,2

02- Resolva a equação CN,2 = 6

_n(n-1) = 6
     2
n(n-1) = 12
n²-n-12=0  Desenvolva a equação


03-O número de combinações de n objetos distintos tomados 2 a 2 é 15. Determine n?

Cn,2 = 15

_n(n-2) =15
     2!

N²- n = 15     n²-n-30=0   Depois de montar a combinação, resolva a equação
 2


07
5ª Etapa: Análise Combinatória

            Explicar através de exemplos e exercícios para fixar.

Ex. 28 e 27 ( os elementos dos dois números são diferentes, 8≠7).

Ex. Ana e José; Ana e Flávio ( casais diferentes, apesar de terem um elemento comum)

Ex. 75 e 57 (mesmos números formando valores diferente)


Exercício

Analise se há mudanças de ordem ou de natureza nos seguintes conjuntos:
c)      1758 e 7851

b) 9483 e 8325

c) ( Ana e José) e (José e Ana)

Avaliação – A avaliação será feita através de um exercício digitado, na qual cada aluno fará o seu para testar o seu desenvolvimento
RECURSOS DIDÁTICOS
- Lápis, quadro, atividade xerocada, cartazes;
Instrumentos áudio visuais (TV, Slide etc.)
REFERÊNCIAL TEÓRICO
                        Portanto o nosso projeto além de desmistificar o medo da análise combinatória, cria de formam intuitiva o pensamento e o raciocínio lógico em cada aluno.
                        Para alguns teóricos matemáticos, as aplicações da matemática freqüentemente aparecem de duas maneiras: ao procurar utilizações no mundo real para uma idéia matemática ou ao procurar idéias matemáticas para uma situação do mundo real. A primeira é relativamente fácil para o professor, mas pode criar dificuldades para o aluno já que muitas vezes as aplicações desse tipo podem estar tão isoladas da situação original a ponto de os alunos não se envolverem o bastante. A segunda requer o apoio de dados mais difíceis do que provavelmente se tem em mãos, além de que ela tende a divergir do programa, já que envolve vários saberes matemáticos ao mesmo tempo.
                        Um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da Análise Combinatória.A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
PRODUTO FINAL
                        O ensino da Análise Combinatória é um ramo da matemática que visa a contagem a possibilidade de vários eventos que podem existir em determinado nome ou situação no cotidiano, utilizando os conceitos matemáticos. Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
                        Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m. Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares.
                        Onde esse projeto além de estimular a aprendizagem na matemática desenvolve o raciocínio lógico e o pensamento crítico, elementos esses primordiais para a aprendizagem, despertando o interesse, abrindo novos horizontes, fazendo a mente evoluir e formar pessoas mais conscientes.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- Cf. Andrade, M.M. de , Introdução à Metodologia do Trabalho Científico: elaboração dos trabalhos na graduação.

2 comentários:

  1. A EXPECTATIVA DO GRUPO DE DESENVOLVER UM PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA PARA DESENVOLVÊ-LO NA EDUCAÇÃO BÁSICA
    Durante a realização do nosso projeto de intervenção pedagógica que foi sobre a introdução da Análise Combinatória que inclui os Arranjos Simples e Combinações Simples, foi visto que os alunos do ensino médio possuem dificuldade com a contagem e o entendimento da probabilidade e dos eventos aleatórios, como no caso da Análise Combinatória que é tida por muitos como um bicho papão por que exige mais raciocínio lógico do que as demais questões matemáticas, por isso dificultam o entendimento, onde foi visto por nós da equipe que os concursos públicos de hoje exigem um entendimento de raciocínio lógico, sendo hoje matéria obrigatória em concursos.
    A nossa expectativa é de que forma será a aceitação do projeto pelos alunos do ensino médio, onde o projeto foi construído de forma prática e de fácil entendimento, trazendo as situações do dia a dia para as questões matemáticas da Analise Combinatória em si; será mostrado através de slide questões praticas do dia a dia de como se resolver um problema envolvendo o assunto, trazendo assim o interesse do aluno, e quebrar os paradigmas de que a Análise Combinatória é um assunto complexo e de difícil entendimento.
    Queremos com esse projeto mostrar aos alunos que a Análise Combinatória pode se tornar num assunto prazeroso e de fácil interpretação, sendo transmitido de forma pratica com os exemplos de dia a dia levando assim ao aprendizado.

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  2. Não entendi o primeiro passo da decomposição, onde tem X (x-1) (x-2) para poder simplificar por (x - 2).

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